עבור פונקציה $f:\RR\to\CC$ נגדיר את הנורמות הבאות:

$$\begin{align} \norm f_1 & = \int_{-\infty}^{\infty} \abs{f(x)} \dx \\ \norm f_2 & = \frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\infty}^{\infty} \abs{f(x)}^2 dx\right)^{1/2} \\ \norm f_\infty & = \sup_x \abs{f(x)} \end{align}$$

בנוסף, עבור $p=1,2,\infty$ נסמן:

$$.E^p(\RR) = \{f:\RR \to \CC \;\mid\; f \text{ piecewise continuous}, \norm f_p < \infty\}$$

לכל $p\in\{1,2,\infty\}$ מצאו פונקציה $f$ כך ש $\norm{f}_p< \infty$ בעוד ששתי הנורמות האחרות הן אינסוף.

הפונקציה $\angles{f,g}$ מלמעלה מוגדרת היטב ומגדירה מכפלה פנימית על $E^2(\RR)$ .

ברגע שנראה שהפונקציה מוגדרת היטב (כלומר האינטגל מתכנס), שאר התכונות של המכפלה הפנימית מוכחות בקלות (כתרגיל). כבר ראינו את ההוכחה במקרה של הקטע החסום, אך כתזכורת, בגלל ש $\abs{f(x)\overline{g(x)}}\leq \abs{f(x)}^2+\abs{g(x)}^2$ , אנחנו מקבלים שהאינטגרל מתכנס בהחלט וחסום ע”י:

$$.\int_{-\infty}^\infty\abs{f(x)g(x)}\dx \leq \norm{f(x)}_2^2+\norm{g(x)}_2^2< \infty$$

עבור פונקציה $f:\RR\to \CC$ ו $\omega\in \RR$ נכתוב

$$.\hat f(\omega) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}dx = \angles{f,e^{i\omega x}}$$

אם הגבול הזה קיים לכל $\omega \in \RR$ נקרא לפונקציה $\hat{f}:\RR\to\CC$ בשם ההתמרת פורייה של $f$ .

לעיתים נכתוב גם $\cf[f]=\hat{f}$ .

אם $f\in\ E^1(\RR)$ , אז $\hat{f}(\omega)$ מוגדרת היטב לכל $\omega$ ומתקיים ש $\norm{\hat{f}}_\infty \leq \frac{1}{2\pi} \norm{f}_1$ .

זהו חישוב פשוט, ע”י שנראה שהאינטגרל מתכנס בהחלט:

$$.\abs{\hat{f}(\omega)}=\abs{\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}dx} \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \abs{f(x)}\abs{e^{-i\omega x}}dx=\frac{1}{2\pi} \norm f_1$$

כפי שאמרנו, ה”מכפלה הפנימית” $\angles{f,e^{i\omega x}}$ היא כבר לא מכפלה פנימית סטנדרטית לפי ההגדרה, כי אנחנו לא לוקחים פונקציות מתוך אותו מרחב $E^2(\RR)$ , אך כן יש משמעות לביטוי הזה. למעבר למכפלה הפנימית בין פונקציות ב $E^2(\RR)$ זוהי עכשיו גם מכפלה בין פונקציה ב $E^1(\RR)$ ו $E^\infty(\RR)$ . שני הזוגות מספרים האלו מקיימים את ה”משוואה” המעניינת:

$$.\frac{1}{1}+\frac{1}{\infty}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

מסתבר שזה תכונה יותר כללית והפונקציה הזאת מגדירה מכפלה בין מרחבים נוספים. לפרטים נוספים, כדאי לקרוא על אי שוויון הלדר.

עבור $a< b$ נגדיר את הפונקציה המציינת

$$.f(x)=\chi_{[a,b]}(x)=\cases{1&x\in[a,b]\\0&else}$$

חישוב של התמרת פורייה של הפונקציה הזאת יתן:

$$.2\pi \hat{f}(w)= \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[a,b]}(x)e^{-i\omega x}dx = \int_{a}^{b} e^{-i\omega x}dx =\frac{1}{\omega} ie^{-i\omega x}\mid_a^b = \frac{e^{-i\omega a}-e^{-i\omega b}}{\omega i} $$

הביטוי למעלה אינו מוגדר כאשר $\omega=0$ ולכן שם צריך לחשב בנפרד ולקבל ש

$$. \hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[a,b]}(x)dx=\frac {b-a}{2\pi}$$

קל לראות שהפונקציה $\hat{f}(\omega)$ היא רציפה עבור $\omega \neq 0$ אבל גם לא קשה לבדוק שהיא רציפה ב $\omega =0$ . בנוסף, מאחר ו $e^{-i\omega a}$ חסומה בערך מוחלט, אז כאשר $\omega \to \infty$ נקבל ש $\hat{f}(\omega)\to 0$ . נראה בהמשך שזו תופעה הרבה יותר כללית.

בנוסף, עבור $a=-b$ , כלומר כאשר הפונקציה היא זוגית, ההתמרה תהיה:

$$\hat{f}(\omega)=\cases{\frac{\sin(\omega b)}{\omega \pi} & \omega \neq 0 \\ \frac{b}{\pi} & \omega = 0.}$$

קודם כל, נשים לב ש $f(x):=e^{-a|x|}\in E^1(\RR)$ ולכן ההתמרה שלה מוגדרת היטב. החישוב עצמו של ההתמרה הוא:

$$\begin{align} 2\pi \cdot \hat f(\omega) & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-i\omega x}\dx = \int_{-\infty}^{0} e^{(a-i\omega) x}\dx + \int_{0}^{\infty} e^{(-a-i\omega) x}\dx \\ & = \int_{0}^{\infty}\left(e^{-(a-i\omega)x}+e^{(-a-i\omega)x}\right)\dx=\left[\frac{e^{-ax}e^{i\omega x}}{i\omega-a}-\frac{e^{-ax}e^{-i\omega x}}{i\omega+a}\right]_{0}^{\infty}. \end{align}$$

מאחר ו $|e^{i\omega x}|$ חסומה ע”י 1, ובנוסף $e^{-ax}\to 0$ כאשר $x\to\infty$ , נוכל להסיק ש

$$. 2\pi \cdot \hat f(\omega) = \frac{1}{i\omega+a}-\frac{1}{i\omega-a} = \frac{2a}{\omega^2+a^2}$$