ננסה למצוא פונקציה $f$ המקיימת:

$$.\int_0^tf(y)\cos(y-t)\dy = t\cdot \sin(t)$$

התמרת לפלס של אגף שמאל תיתן:

$$,\cl[f](s)\cdot \cl[\cos(t)](s)=\cl[f](s)\cdot \frac {s}{s^2+a^2}$$

והתמרת אגף ימין:

$$\cl[t\cdot\sin(t)](s)=-\cl[\sin(t)]'(s)=-\frac{d}{\ds}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)=\frac{2s}{(s^2+1)^2}$$

לכן, סה”כ נקבל ש:

$$,\cl[f](s)=\frac{2}{s^2+1}=\cl[2\sin(t)](s)$$

כלומר, כדאי לנחש (התמרה הפוכה) ש $f(t)=2\sin(t)$ , ובאמת קל לבדוק שבאמת הפונקציה הזאת פותרת את המשוואה האינטגרלית.

נשנה את המשוואה מהדוגמא הראשונה ל:

$$.\int_0^tf(y^2)\cos(y-t)\dy = t\cdot \sin(t)$$

עכשיו אין לנו בדיוק קונבולוציה, אך נוכל לשנות קצת את המשוואה כדי שכן תהיה. אם נגדיר $g(t)=f(t^2)$ , אז נקבל את המשוואה

$$,\int_0^tg(y)\cos(y-t)\dy = t\cdot \sin(t)$$

שראינו מקודם שיש לה פתרון $f(t^2)=g(t)=2\sin(t)$ . זה אומר שהפתרון של המשוואה המקורית יהיה $f(t)=2\sin(\sqrt{t})$ . נשים לב שהפתרון הזה רק תקף עבור $t\geq 0$ כי אחרת לא נוכל לקחת שורש, אבל מראש זו הייתה ההנחה שלנו כי אנחנו עושים התמרת לפלס (ומעבר לזה, בתנאי האינטגרלי מופיעים רק הערכים של $f$ על $t\geq 0$ כלומר בשום שיטה אחרת לא נקבל מה קורה ב $t< 0$ ).

סה”כ, הדוגמא הזאת באה להראות שגם דברים שלא נראים במבט ראשון כמו קונבולוציה, אפשר להמיר לקונבולוציה אמיתית.

פתרו את המשוואה:

$$.\int_0^t e^{t-y}f(y)\dy=f(t)-1$$

אגף שמאל זה הקונבולוציה $f*e^t$ (תחת ההנחה הרגילה שהפונקציות שלנו נתמכות ב $[0,\infty)$ ) ולכן התמרת לפלס של שני האגפים תיתן:

$$.\frac{1}{s-1}\cdot \cl[f](s)=\cl[e^{1\cdot t}](s)\cdot\cl[f](s)=\cl[f](s)-\cl[1](s)=\cl[f](s)-\frac{1}{s}$$

בידוד של $\cl[f]$ יתן ש:

$$\cl[f](s)=\frac{s-1}{s(s-2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{2}\left(\cl[1+e^{2t}](s)\right)$$

לכן סה”כ נקבל ש $f(t)=\frac{1+e^{2t}}{2}$ יהיה פתרון למשוואה.

פתרו את המשוואה

$$.\int_0^tf(y)\dy=t-f'(t)$$

במקרה הזה נראה שאין לנו קונבולוציה, אבל היא באמצ כן מתחבאת שם, כי $\int_0^tf(y)\dy = (f*1)(t)$ . שימוש בתמרת לפלס יתן לנו:

$$\frac{\cl[f](s)}{s} = \cl[f](s)\cdot\cl[1](s)=\cl[t](s)-\cl[f'](s)=\frac{1}{s^2}-\left(s\cl[f](s)-f(0)\right)$$

חילוץ של $\cl[f]$ יתן ש:

$$,\cl[f](s)=\frac{\frac{1}{s}+sf(0)}{1+s^2}=\frac{1}{s}-(1-f(0))\frac{s}{s^2+1}=\cl[1-(1-f(0))\cos(t)](s)$$

ולכן נקבל ש

$$.f(t)=1-(1-f(0))\cos(t)$$

נשים לב שהצבה של $t=0$ תיתן ש $f(0)=f(0)$ , כלומר יש לנו בעצם פרמטר חופשי (או לחלופין צריך תנאי התחלה בשביל פתרון יחיד). אפשר לראות שבאמת אם מוסיפים $\cos(t)$ לפונקציה $f(t)$ אז הפונקציה החדשה שנקבל עדיין תפתור את המשוואה האינטגרלית/דיפרנציאלית.