משוואת החום

משוואת החום היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת איך הטמפרטורה מתנהגת יחסית למקום וזמן. אם נסמן את פונקציית הטמפרטורה ב $u(x,t)$ אז משוואת החום היא: $$u'_t(x,t)=k\cdot u''_{xx}(x,t)$$ כאשר $k$ הוא קבוע התלוי בחומר איתו עובדים. נסיון לפתור את משוואת החום זה אחת הסיבות שפורייה פיתח את ההתמרות שאנחנו לומדים.

אינטואיציה

כדי לקבל קצת אינטואיציה על הקשר בין הנגזרת לפי הזמן ולפי המקום, בואו נסתכל על הפונקציה $f(x)=\frac{x^2(x-2)}{4}+1$ ועל שתי הנגזרות שלה: נניח שהפונקציה הזאת מתארת את החום על מוט בזמן $t=0$ ונסתכל על שלוש נקודות $x=-1,0,1$ ונשאל איך החום שם צריך להשתנות.

• בנקודה $x=-1$ המוט יותר חם מהאזורים לידו, כלומר זה נקודת מקסימום מקומי, ולכן נצפה שהחום יתפזר ל”שכנים”. מבחינה פורמלית, הנגזרת תהיה שווה לאפס, והנגזרת השנייה היא שלילית. נשים לב שבאופן כללי, ככל שההבדל בין הטמפרטורה בנקודה עצמה לנקודות ה”שכנות” היא יותר גדולה, נצפה שיהיה יותר איבוד של חום, ומבחינה מתמטית הנגזרת השנייה תהיה יותר שלילית.
• בנקודה $x=1$ קורה המצב ההפוך בו יש מינימום מקומי, ולכן נצפה שהמוט יתחמם שם מהשכנים. גם פה הנגזרת היא אפס והנגזרת השנייה היא חיובית.
• לבסוף, בנקודה $x=0$ , הפונקציה נראית כמעט לינארית, כלומר הנגזרת השנייה היא כמעט אפס. לכן מצד אחד של הנקודה (שמאל) יותר חם, ומצד שני יותר קר, ופחות או יותר באותו סדר גודל, לכן לא נצפה ליותר מדיי שינוי בטמפרטורה שם. האינטואיציה מפה היא שבעצם הנגזרת השנייה מודדת עד כמה ההבדל בחום בין נקודה מסויימת לשכנים שלה, ומאחר ואנחנו מצפים שהשינוי בחום לאורך הזמן תלוי בהבדל הזה, נצפה לראות שהנגזרת $u_t'$ לפי הזמן תהיה תלויה ב $u''_{xx}$ .

ננסה טיפה לפרמל את זה יותר (ולפורמליזם הכללי, צריך ללכת למד”ח). נניח שאנחנו רוצים למצוא את השינוי בטמפרטורה $u(x)$ בנקודה $x$ כאשר הטמפרטורה בנקודות השכנות שלה $x\pm h$ עבור איזשהו $h>0$ היא קבועה. אז אם ניתן לחום להתפזר מספיק זמן, בסופו של דבר נצפה שהטמפרטורה ב $x$ תהיה הממוצע $\frac{u(x+h)+u(x-h)}{2}$ , או לחלופין השינוי יהיה: $$.\frac{u(x+h)+u(x-h)}{2}-u(x)=\frac{1}{2}\left((u(x+h)-u(x))+(u(x-h)-u(x))\right)$$ זה כמובן ה”כיוון” שבו הטמפרטורה רוצה לזוז בה, ועוד יש המהירות בה זה קורה (נזכיר שאנחנו רוצים שינוי בזמן נתון ולא ההבדל מזמן $t=0$ עד $t=\infty$ ). למשל, ככל ש $h$ קטן יותר, והנקודות השכנות קרובות יותר, ככה נצפה שהשינוי יהיה מהיר יותר. דרך אחת ליצור את המהירות הזאת, זה לחלק ב $h^2$ ואז הביטוי למעלה יהיה: $$.\frac{1}{2h}\left(\frac{u(x+h)-u(x)}{h}-\frac{u(x-h)-u(x)}{-h}\right)$$ “כמעט” רשום למעלה הביטוי $\frac{u'(x+h)-u'(x-h)}{2h}$ שהגבול שלו הוא $u''_{xx}(x)$ , וטיפה יותר פורמלית, אם מניחים ש $u$ גזירה ברציפות פעמיים, אז שימוש בלופיטל יתן $$.\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)+u(x-h)-2u(x)}{2h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{u'(x+h)-u'(x-h)}{4h}=\frac{u''_{xx}(x)}{2}$$

פתרון משוואת החום

נחזור לנסיון של פורייה לפתור את משוואת החום: $$\dboxed{u'_t(x,t)=k\cdot u''_{xx}(x,t)}$$

הבעייה העיקרית במשוואות דיפרנציאליות חלקיות, זה שהנגזרות הן לפי משתנים שונים. למזלנו, התמרה של נגזרות הופכת לכפל ב $i\omega$ ואז אולי נוכל לקבל חזרה פתרון ע”י התמרה הפוכה. אם נבצע התמרה לפי $x$ ונסמן $U(\omega,t)=\cf[u(x,t)](\omega)$ , אז $$.\cf[k\cdot u''_{xx}](\omega)=k\cdot i\omega \cf[u'_x](\omega)=-k\cdot \omega^2\cf[u](\omega)=-k\cdot \omega^2U(\omega,t)$$ תחת ההנחה שמותר לנו לשנות סדר גזירה (לפי $t$ ) ואינטגרציה, נקבל שההתמרה של אגף שמאל תהיה $$,\cf[u'_t]=U'_t(\omega,t)$$ וזה משאיר אותנו עם המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הפשוטה: $$U'_t(\omega,t)=-k\omega^2\cdot U(\omega, t)$$ כאשר הפתרון שלה הוא $$.U(\omega,t)=U(\omega,0)e^{-k\omega^2t}$$ נרצה לעשות עכשיו את ההתמרה ההפוכה, וממשפט הקונבולוציה, מכפלה של פונקציות הופכת לקונבולוציה (וההפך). נזכיר ש $\cf[e^{-x^2}]=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\omega^2/4}$ ולכן $$.e^{-k\omega^2t}=e^{-(\omega\cdot 2\sqrt{kt})^2/4} =\frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}}\cf[e^{-(x/2\sqrt{kt})^2}](\omega) =\sqrt{\frac{\pi}{kt}}\cf[e^{-x^2/4kt}](\omega)$$ סה”כ קיבלנו ש $$\cf[u](\omega,t) = \cf[u](\omega,0)\cdot \cf\left[\sqrt{\frac{\pi}{kt}}e^{-x^2/4kt}\right](\omega)=\frac{1}{2\pi} \cf\left[u(x,0)*\sqrt{\frac{\pi}{kt}}e^{-x^2/4kt}\right](\omega)$$ כלומר, אם אנחנו יודעים את הטמפרטורה בזמן $t=0$ אז נוכל לחשב אותה בזמן $t$ כללי ע”י: $$.\dboxed{u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty u(y,0)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}\dy}$$