מוטיבציה - התמרת פורייה
מה אנחנו חוקרים?
“התמרת פורייה” זה אחד הכלים הכי שימושיים כאשר רוצים להבין פונקציות ממשיות (ומרוכבות). אלו פונקציות שכמובן מופיעות בצורה טבעית בשלל מקומות בעולם, למשל:
- פיזיקה: פונקציות מקום, מהירות, כח, טמפרטורה, לחץ וכו’,
- פונקציות דיגיטליות: צבעי פיקסלים בתמונות, קבצי אודיו, או תנועה באנימציות,
- פונקציות “אבסטרקטיות”: כמו מחירי מניות בבורסה, או מדדי פופלריות באתרי מדיה חברתית.
ה”פונקציות הממשיות” האלו מגיעות בכל מני צורות, כתלות בתחום הגדרה שלהן, כאשר המקרים הכי נפוצים הם:
- פונקציות על הישר הממשי: $f:\RR\to\RR$ ,
- פונקציות מחזוריות, כלומר $f:\RR\to\RR$ עם זמן מחזור $ T>0 $ כך ש $f(x+T)=f(x)$ .
- פונקציות דיסקרטיות על קבוצה סופית $f:\{1,2,...,n\}\to\RR$ ,
- פונקציות דיסקרטיות על קבוצה אינסופית $f:\ZZ\to\RR$ , שאנחנו סדרך קוראים להן פשוט סדרות.
בגלל שיש כל כך הרבה סוגים של פונקציות ממשיות, ומאחר והן כל כך שימושיות, זה מאוד חשוב למצוא מבנים וכלים מתמטיים על מנת לחקור אותם. כבר למדנו על כמה כאלו בקורסים הראשונים באלגברה וחדו”א, כמו:
- קודם כל, צריך לבחור את הסוג פונקציות : חסומות, רציפות, גזירות, אולי רק רציפות למקוטעין, אינטגרביליות וכו’.
- אלגברה לינארית: בדרך כלל המשפחת פונקציות האלו תהווה מרחב ווקטורי, מה שמאפשר לנו להשתמש בכל הכלים מאלגברה לינארית (פונקציות לינאריות, בסיס, מימד וכו’).
- חדו”א: עבור פונקציות על הישר הממשי, אפשר גם לדבר על הרציפות שלהן, נגזרות, אינטגרלים וכו’.
-
גאומטריה: אנחנו יכולים גם לבחור “גודל”, או בצורה פורמלית את הנורמה, של פונקציה בכל מני דרכים, כל אחת עם היתרונות והחסרונות שלה. למשל, אפשר למדוד את השטח (בערך מוחלט) מתחת לגרף של הפונקציה:
אחת התכונות החשובות של נורמות כאלו היא שהן מקיימות את אי שוויון המשולש $\norm{f+g} \leq \norm f + \norm g$ , מה שמאפשר לנו להגדיר מרחקים במרחב , כלומר $dist(f,g):=\norm{f-g}$ ובכך בעצם להגדיר “גאומטריה” על המרחב.
- זוויות: בצורה יותר כללית, אנחנו יכולים לחשוב על “זוויות” בין הפונקציות, ואז לנסות למשוך אינטואיציה מהמרחבים האוקלידים הרגילים (למשל, רעיונות כמו משפט פיתגורס). בצורה יותר פורמלית, אנחנו מוסיפים מכפלה פנימית למרחבים שלנו (שנזכיר את הרעיונות שם בהמשך).
הרעיון המרכזי בהתמרות פורייה, הוא שיש לנו מבנה נוסף מאוד מעניין על המרחבים האלו:
סימטריה:
לכל המשפחות שהזכרנו יש “סימטריות” מאוד נחמדות. אנחנו בדרך כלל חושבים על סימטריה כשיקופים - יש לנו את האובייקט ה”מקורי”, וכאשר אנחנו משקפים אותו דרך המראה, אנחנו מקבלים את “אותו האובייקט” (או לכל הפחות הוא נראה כמו המקורי). דבר דומה קורה עם הפונקציות הממשיות שלנו - למשל, פונקציות על הישר הממשי ניתן להזיז ימינה ושמאלה ושוב לקבל פונקציות באותה משפחה:
$$ \text{Translation left and right: }f(x) \mapsto f(x+c)$$
על הסימטריה הזאת של תזוזה ימינה/שמאלה ניתן לחשוב כתזוזה במרחב או בזמן (כתלות במה הפונקציות שלנו מתארות).
המבנה ה”סימטרי” הזה נראה די פשוט תחילה, אבל הוא מוביל לשאלות מאוד מעניינות. למשל, האם יש “תבניות” מעניינות שחוזרות על עצמן יחסית לסימטריות שלנו? האם יש “תבניות יסודיות” כאלו שכדאי לחפש בכל הפונקציות? החיפוש הזה של תבניות כאלו הוא אחד המטרות העיקריות של הקורס, ובמובן מסוים “התמרות פורייה” נועדו בדיוק כדי לחקור את התביות האלו.