אם $f,g$ נתמכות ב $[0,\infty)$ אז הקונבולוציה שלהם מקיימת:

$$.\dboxed{(f*g)(x)=\cases{\int_0^x f(x-t)g(t)\dt & x\geq 0 \\ 0 & x< 0}}$$

לכל $a,b\in \RR$ מתקיים ש

$$.(H(t-a)*H(t-b))(x) = (x-a-b)H(x-a-b)$$

חישוב של הקונבולוציה יתן:

$$(H(t-a)*H(t-b))(x)= \int_{-\infty}^\infty H(x-t-a)\cdot H(t-b) \dt= \int_{b}^\infty H(x-t-a)\dt= \int_{-\infty}^{x-a-b} H(s)\ds$$

אם $x-a-b< 0$ אז האינטגרנד הוא זהותית אפס בתוך התחום $(-\infty,x-a-b]$ . אחרת הוא שווה ל 1 ב $s\geq 0$ ולכן נקבל ש

$$\int_{-\infty}^{x-a-b} H(s)\ds=\left\{\begin{array}{lr}0 & :x< a+b \\ x-a-b & :a+b \leq x\end{array}\right\}=(x-a-b)\cdot H(x-a-b)$$

יהיו $f,g,h$ פונקציות הנתמכות ב $[0,\infty)$ . אז בכל מקום בו הקונבולוציה קיימת מתקיים ש:

1. אסוציאטיביות: $f*(g*h)=(f*g)*h$ .

2. קומוטטיביות: $f*g=g*f$ .

3. לינאריות: לכל $\alpha \in \CC$ מתקיים $(f+\alpha g)*h=f*h+\alpha f*g$ .

יהיו $f,g$ פונקציות הנתמכות ב $[0,\infty)$ , ונניח שקיימים קבועים $K_f, K_g, s_0$ כך ש $|f(t)|\leq K_fe^{s_0t}$ ו $|g(t)|\leq K_g e^{s_0t}$ . אז:

1. לכל $x\geq 0$ מתקיים ש

   $$.|(f*g)(x)|\leq K_fK_gxe^{s_0x}$$

2. לכל $s>s_0$ ההתמרה של הקונבולוציה מוגדרת היטב ומתקיים ש

   $$.\cl\left[f*g\right](s)=\cl[f](s)\cdot \cl[g](s)$$

1. עבור $x\geq 0$ מתקיים ש

   $$.|(f*g)(x)|\leq \int_0^x|f(x-t)|\cdot|g(t)|\dt\leq \int_0^xK_fK_ge^{s_0(x-t+t)}\dt=K_fK_ge^{s_0x}\int_0^x1\dt=K_fK_ge^{s_0x}x$$

2. מהחלק הראשון נקבל שהתמרת לפלס של $f*g$ מוגדת לכל $s>s_0$ , ושווה ל:

   $$.\cl[f*g](s) = \int_0^\infty \left(\int_0^tf(t-y)g(y)\dy\right)e^{-st}\dt$$

   בגלל שכל האינטגרלים מתכנסים בהחלט, ניתן להשתמש במשפט פוביני כדי להחליף סדר אינטגרציה. התחום מוגדר ע”י $0\leq y\leq t$ ולכן $$.\int_0^\infty \left[\int_0^t (\cdots) \dy \right]\dt = \int_0^\infty \left[\int_0^\infty \chi_{[0,t]}(y)(\cdots) \dy\right] \dt = \int_0^\infty \left[\int_0^\infty \chi_{[0,t]}(y)(\cdots) \dt \right]\dy= \int_0^\infty \left[\int_y^\infty (\cdots) \dt \right]\dy$$

   

   סה”כ נקבל ש

   $$.\align{\cl[f*g](s) &= \int_0^\infty \left(\int_y^\infty f(t-y)g(y)e^{-st}\dt\right)\dy = \int_0^\infty g(y)e^{-sy}\left(\int_y^\infty f(t-y)e^{-s(t-y)}\dt\right)\dy \\ &= \int_0^\infty g(y)e^{-sy}\left(\int_0^\infty f(t)e^{-st}\dt\right)\dy = \cl[g](s)\cdot \cl[f](s)}$$

כבר ראינו שבהינתן $f$ רציפה למקוטעין, אם מגדירים את $g(t)=\int_0^tf(x)\dx$ אז $\cl[g](s)=\frac{1}{s}\cl[f](s)$ כאשר הרעיון היה להשתמש בתכונת הנגזרת, ואז להפוך אותה כדי לקבל אינטגרל. בנוסף, אנחנו יודעים ש $\frac{1}{s}=\cl[1](s)$ (או יותר נכון $\frac{1}{s}=\cl[H(t)](s)$ ) ולכן יש לנו מכפלה של התמרות. מצד שני, ניתן לכתוב $g(t)=(f(t)*H(t))(t)$ ולכן בעצם התוצאה הזאת נובעת גם ממשפט הקונבולוציה:

$$.\cl[g](s)=\cl[H(t)*f(t)](s)=\cl[H](s)\cl[f](s)=\frac{1}{s}\cl[f](s)$$