משוואות דיפרנציאליות
כמו עם התמרת פורייה, גם בהתמרת לפלס ניתן להשתמש כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות. היתרון בהתמרת לפלס הוא שאין לנו את הדרישה שהפתרון יהיה אינטגרבילי בהחלט (או בריבוע) אבל מצד שני הפתרון צריך להיות בתחום $[0,\infty)$ (או באופן כללי קטע חצי אינסופי). הרעיון הוא שההתמרה הופכת נגזרות למכפלות במשתנה של הפונקציה, ולכן משוואות דיפרנציאליות יהפכו למשוואות אלגבריות.
נתחיל עם דוגמא של משוואות דיפרנציאליות לינאריות. באופן כללי ניתן לפתור משוואות כאלו עם כלים בסיסיים (למשל, אלגברה לינארית), אבל נראה שניתן גם להשתמש בהתמרת פורייה.
נחפש פתרון למשוואה הבאה:
$$\align{0 &= y''(t)-7y'(t)+12y(t) \\ .y(0)&=3,\;\;y'(0)=10}$$
נניח שמותר לבצע התמרת לפלס בנקודה $s$ . יכול להיות שלא מותר ואז אולי נקבל פתרון שגוי, אך בכל מקרה בסוף התהליך נוכל לבדוק האם הפתרון שקיבלנו מקיים את המשוואה. חישוב ההתמרה על שני האגפים יתן ש
$$\align{0 & = \cl[0] = \cl\left[y''-7y'+12y]\right]=\left(s^2\cl[y]-sy(0)-y'(0)\right)-7\left(\cl[y]-y(0)\right)+12\cl[y] \\ & =(s^2-7y+12)\cl[y]-(s-7)y(0)-y'(0)=(s^2-7y+12)\cl[y]-3s+11}$$
נעביר אגפים ונקבל ש:
$$.\cl[y]=\frac{3s-11}{s^2-7y+12}=\frac{3s-11}{(s-3)(s-4)} = \frac{1}{s-4} + \frac{2}{s-3}$$
כבר ראינו ש $\cl[e^{zt}](s) = \frac{1}{s-z}$ ולכן סה”כ קיבלנו ש
$$.\cl[y(t)]=\cl[e^{4t}+2e^{3t}]$$
כמובן ש $y(t)=e^{4t}+2e^{3t}$ פותר את המשוואה האחרונה (ואם וכאשר נראה את קיום ההתמרה ההפוכה $\cl^{-1}$ אז זה גם בעצם יהיה הפתרון היחיד). עכשיו ניתן לחזור למשוואה הדיפרנציאלית המקורית ולראות שזה אכן פתרון שלה (ובנוסף $\frac{|y(t)|}{e^{4t}}$ חסומה ולכן גם כל המהלכים בדרך נכונים).
עבור מד”ר מהצורה $\sum_0^d a_k y^{(k)}(t)=0$ מגדירים את הפולינום האופייני להיות $\sum_0^d a_kx^k$ . כמו שרואים בפתרון למעלה, כאשר התמרנו את המד”ר הופיע לנו בצורה טבעית הפולינום האופייני שלה, והמקדמים $3,4$ שהופיעו בחזקות של האקספוננטים הם בדיוק השורשים של הפולינום.
מה קורה אם התנאי התחלה לא נתונים ב $t=0$ ?
נניח שלמשל נתונים התנאי התחלה ב $y(1),y(3)$ במקום ב $y(0),y'(0)$ . במקרה הזה, נעשה את אותו חישוב, אבל נשאיר את $y(0),y'(0)$ כפרמטרים שאפשר לבחור, ואז נקבל את המשוואה: $$\cl[y](s)=\frac{(7-s)y(0)-y'(0)}{(s-3)(s-4)} =\overbrace{(y'(0)-4y(0))}^A\frac{1}{s-3} + \overbrace{(3y(0)-y'(0))}^B\frac{1}{s-4} =\cl\left[Ae^{3t}+Be^{4t}\right](s)$$ לכן, סה”כ נוכל לנחש שהפתרון ללא תנאי התחלה הוא $$.y(t)=Ae^{3t}+Be^{4t}$$ מפה נוכל לנחש את הפתרון עם תנאי ההתחלה ע”י הצבה של $t=1,3$ (או באופן כללי כל שני תנאי התחלה כלשהם). נשים לב שבשלב הזה אנחנו עוד לא יודעים כלום על התנאי התחלה ובגלל ש $$\align{A & =\phantom{-}y'(0)-4y(0) \\ B &=-y'(0)+3y(0)}$$ מוגדרים ע”י מערכת לינארית הפיכה, ולכן הגדרת $A,B$ שקולה להגדרת $y(0),y'(0)$ , כלומר לא “איבדנו” שום דבר במעבר ל $A,B$ .
נחפש פתרון למשוואה הבאה:
$$\align{12t+5 &= y''(t)-7y'(t)+12y(t) \\ .y(0) &= 4,\;\; y'(0)=11}$$
החלק ההומוגני של המשוואה הוא כמו בדוגמא הקודמת ולכן נצפה לראות שוב את $e^{4t}$ ואת $e^{3t}$ ומה שחסר לנו זה פתרון פרטי. נפעיל שוב את התמרת פורייה ונקבל בצורה דומה לחישוב מהדוגמא הקודמת:
$$.\cl[y''-7y'+12y] = (s^2-7y+12)\cl[y]-(s-7)y(0)-y'(0) = (s^2-7y+12)\cl[y]-4s+17$$
ההתמרה של אגף שמאל מהמד”ר למעלה תהיה:
$$.\cl[12t+5](s)=12\cl[t](s)+\cl[5](s)=12\cdot \frac{1}{s^2} +5\cdot\frac{1}{s} = \frac {12+5s}{s^2}$$
שוב נבצע העברת אגפים ונקבל ש
$$.\cl[y]=\frac{\frac{12+5s}{s^2}+4s-17}{s^2-7s+12} = \frac{4s^3-17s^2+5s+12}{s^2(s-3)(s-4)} = \frac{1}{s-4}+\frac{2}{s-3}+\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}$$
כמו בדוגמא הקודמת, גם פה נקבל את ה”ניחוש” שהוא גם יהיה הפתרון:
$$.y(t)=e^{4t}+2e^{3t}+1+t$$
הפתרונות שקיבלנו הם לא אינטגרבילים בהחלט או בריבוע. מה יקרה אם ננסה לפתור את המד”ר האלו עם התמרת פורייה? האם ואיזה פתרון נקבל?