קונבולוציה

ראינו כבר הרבה תכונות מעניינות של התמרת פורייה, ובפרט ראינו שהיא לוקחת פעולות שאנו רגילים לעבור איתם כמו חיבור, כפל, סיבוב, הצמדה וכו’ פחות או יותר לעצמן. פעולה נוספת מאוד חשובה היא כפל של פונקציות, ונרצה להראות איך לבטא את ההתמרה $\widehat{f\cdot g}$ באמצעות ההתמרות $\hat{f},\hat{g}$ . פה מגיעה פעולת הקונבולוציה, אבל לפני שנגדיר אותה ונראה אותה מופיעה בהתמרות האלו, בואו נראה שבעצם אנחנו מכירים אותה כבר.

מאיפה מגיעה הקונבולוציה

אחת ממשפחות הפונקציות הכי פשוטה שאנחנו מכירים היא משפחת הפולינומים, כלומר פונקציות מהצורה: $$.f(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2 +\cdots +a_d x^d = \sum_0^d a_k x^k$$ גם פה במובן מסויים יש לנו “התמרה”. אם מתחילים עם הפונקציה $f$ אז המקביל למקדמי פורייה אלו פשוט המקדמים $a_k$ ו”ההתמרה ההפוכה” זו הקומבינציה שלהם שבאגף ימין בביטוי למעלה. $$\align{f&\overset{'\cf'}{\longrightarrow}(a_0,a_1,...,a_d)\\. \sum_0^da_kx^k & \overset{'\cf^{-1}\;'}{\longleftarrow}(a_0,a_1,...,a_d)}$$

הערה:

במקרה של פולינומים (מעל $\CC$ ) קיבלנו ממש את השוויון $f(x)=\sum_0^d a_kx^k$ לכל $x$ . כפי שכבר ראינו, במקרה של טורי והתמרות פורייה, צריך לעבוד קצת יותר בשביל השוויון הזה.

אם נתון לנו פולינום נוסף $$,g(x)=b_0+b_1 x + b_2 x^2 +\cdots +b_d x^d = \sum_0^d b_k x^k$$ אז הפונקציה $f(x)g(x)$ היא גם פולינום: $$,f(x)g(x) = \sum_0^{2d} c_kx^k$$ ולכן נוכל לשאול איך מבטאים את המקדמים שלה $c_k$ ע”י המקדמים $a_k,b_k$ של $f(x),g(x)$ . במקרה הזה נקבל ש : $$\align{f(x)g(x) & = \left(\sum_{i=0}^d a_i x^i\right)\left(\sum_{j=0}^d b_j x^j\right) = \sum_{i=0}^d\sum_{j=0}^d a_i b_j \cdot x^{i+j} = \sum_{k=0}^{2d} \left(\sum_{i+j=k} a_i b_j\right) \cdot x^{k} = \sum_{k=0}^{2d} \left(\sum_{i} a_i b_{k-i}\right) \cdot x^{k} \\ &= \overbrace{a_0b_0}^{c_0}+\overbrace{(a_0b_1+a_1b_0)}^{c_1}x+\overbrace{(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)}^{c_2}x^2+\cdots +\overbrace{(a_{d-1}b_d+a_db_{d-1})}^{c_{2d-1}}x^{2d-1}+\overbrace{a_db_d}^{c_{2d}}x^{2d}}$$

כלומר, המקדם של $x^k$ הוא סכום של מכפלות של המקדמים של $f,g$ כך שהאינדקסים שלהם נסכמים ל $k$ . הסיבה למבנה המעניין הזה הוא בעצם חוקי החזקות שהמונומים מקיימים, כלומר $x^i x^j = x^{i+j}$ .

כדי לקבל קצת יותר אינטואיציה ויזואלית לכפל הזה, ולקונבולוציה שעוד מעט נגדיר, נניח שהפולינומים הם מדרגה $d=2$ ורוצים למצוא את המקדם החופשי. נכתוב מקדמי הפולינומים בטבלה, כאשר המקדמים של $f$ גדלים באינדקס כאשר זזים ימינה, והמקדמים של $g$ קטנים באינדקס, ואם נשים אותה כך שהמקדם החופשי של $f$ יהיה מעל המקדם החופשי של $g$ אז רק צריך לכפול את התא בשורה הראשונה (של $f$ ) בתא מתחתיו (של $g$ ) לכתוב בתא בשורה השלישית ואז לסכום את השורה השלישית:

$a_2x^2$ $a_1x^1$ $a_0 x^0$ 0 0
0 0 $b_0 x^0$ $b_1 x^1$ $b_2x^2$
0 0 $a_0b_0x^0$ 0 0

אם נרצה את המקדם של $x$ , אז זה יהיה אותו הדבר, רק צריך להזיז את כל המקדמים בשורה הראשונה תא אחד שמאלה:

$a_2x^2$ $a_1x^1$ $a_0 x^0$ 0
0 $b_0 x^0$ $b_1 x^1$ $b_2x^2$
0 $a_1b_0x^1$ $a_0b_1x^1$ 0

ואם נרצה את המקדם של $x^2$ אז נזיז אותם עוד תא שמאלה וכך הלאה:

0 $a_2x^2$ $a_1x^1$ $a_0 x^0$ 0
0 $b_0 x^0$ $b_1 x^1$ $b_2x^2$ 0
0 $a_2b_0x^2$ $a_1b_1x^2$ $a_0b_2x^2$ 0

לכן, סה”כ קיבלנו את ההתאמה: $$\align{f(x) & \Rightarrow (a_0, a_1, ...)\\ g(x) & \Rightarrow (b_0, b_1, ...) \\ f(x)\cdot g(x) & \Rightarrow (c_0,c_1,...),\; c_k=\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}}$$ מאחר וחוקי החזקות האלו מתקיים גם עבור האקספוננטים שלנו, נקבל משהו דומה, פרט לכך שבמקום מקדמים דיסקרטים, יש לנו מקדמים רציפים.

קונבולוציה של פונקציות

הגדרה: קונבולוציה:

עבור שתי פונקציות $f,g:\RR \to \CC$ נגדיר את הקונבולוציה שלהן $(f*g)$ להיות האינטגרל (כאשר הוא מוגדר):

$$.(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y) \dy$$

נשים לב תחילה ש”סכום האינדקסים” בתוך הקונבולוציה הוא תמיד $(x-y)+y=x$ בדיוק כמו שבכפל פולינומים הסכום תמיד היה $(k-i)+i=k$ . ההגדרה של הקונבולוציה דומה להגדרה של מכפלה פנימית, רק במקום לכפול באינטגרנד ב $f(y)$ אנחנו עושים שיקוף $y\mapsto-y$ ואז הזזה ב $x$ . בדומה למכפלה הפנימית, יש שני מקרים בהם הקונבולוציה מוגדרת לכל $x$ עם הוכחות דומה לאלו מהמכפלה הפנימית:

  • אם אחת מהפונקציות היא חסומה והשנייה אינטגרבילית בהחלט (כלומר ב $E^\infty(\RR)$ ו $E^1(\RR)$ בהתאם).
  • אם שתי הפונקציות נמצאות ב $E^2(\RR)$ . מקרה נוסף מעניין שדורש קצת יותר מאמץ הוא כאשר שתי הפונקציות הן ב $E^1(\RR)$ אך לפני שנוכיח את זה, בואו נראה דוגמא בסיסית בשביל האינטואיציה.
דוגמא: קונבולוציה של פונקציות מציינות

נסתכל על שתי פונקציות מציינות של קטעים, הראשונה של $[-1,1]$ והשנייה של $[-h,h]$ :

$$\align{f(x)=\chi_{[-1,1]}(x)=\cases{1&|x|\leq 1 \\ 0 & |x|>1} \\ .g(x)=\chi_{[-h,h]}(x)=\cases{1&|x|\leq h \\ 0 & |x|>h}}$$

בחישוב של הקונבולוציה, אנחנו מכפילים בין שתי הפונקציות ומבצעים אינטגרציה. הפונקציה $g(y)$ שמופיעה באינטגרל “לא זזה” כאשר $x$ משתנה, בעוד שהפונקציה $f(x-y)$ כן. מאחר ושתיהן מתארות קטע, המכפלה שלהן מתארת את החיתוך, ואז האינטגרל מתאר את אורך הקטע.

בתכנה למטה מדסמוס אפשר לראות באדום את הפונקציה $g$ בירוק את $f$ והגרף השחור הוא של הקונבולוציה.

נסו לשחק עם הפרמטרים $x,h$ ולראות שאתם מבינים למה גרף הקונבולוציה נראה כמו שהוא נראה.

תרגיל:

חשבו את הקונבולוציה של שתי פונקציות מציינות $f(x)=\chi_{[-a,a]}$ ו $g(x)=\chi_{[-b,b]}$ כפונקציה של הפרמטרים $a,b\geq 0$ .

תכונות של קונבולוציה

לפני שנתחיל עם תכונות, נזכיר את משפט פוביני טונלי שעוזר בחישוב אינטגרלים:

משפט פוביני טונלי.

תהא $H(x,y):\RR^2\to \CC$ פונקציה מדידה, אז

$$\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty |H(x,y)| \dx\right)\dy = \int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty |H(x,y)| \dy\right)\dx = \int_{\RR^2} |H(x,y)| \operatorname{d(x,y)}$$

בנוסף, אם האינטגרלים האלו סופיים אז

$$\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty H(x,y) \dx\right)\dy = \int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty H(x,y) \dy\right)\dx = \int_{\RR^2} H(x,y) \operatorname{d(x,y)}$$

באמצעות משפט פוביני טונלי, אנחנו יכולים להראות סגירות לכפל קונבולוציה.

משפט: קונבולוציה של פונקציות ב $E^1(\RR)$ .

יהיו $f,g\in E^1(\RR)$ . אז הקונבולוציה $(f*g)(x)$ מוגדרת כמעט לכל $x$ והיא אינטגרבילית בהחלט.

הוכחה:

אם נניח שהקונבולוציה מוגדרת לכל $x$ , ונרצה להראות שהיא אינטגרבילית בהחלט, אז בגלל ש

$$\int_{-\infty}^\infty \abs{(f*g)(x)}\dx = \int_{-\infty}^\infty \abs{\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\dy}\dx \leq \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \abs{f(x-y)}\abs{g(y)} \dy \dx$$

מספיק שנראה שהאינטגרל האחרון הוא חסום ולא אינסוף. מצד שני, אם האינטגרל האחרון הוא סופי, זה אומר שהאינטגרל הראשון הוא סופי ובפרט $(f*g)(x)$ מוגדר וסופי כמעט לכל $x$ .

נשים לב שהאינטגרנד בצד ימין הוא על פונקציה אי שלילית ולכן ניתן להפעיל את פוביני ולקבל שהוא שווה ל

$$.\int_{-\infty}^\infty \abs{g(y)}\left(\int_{-\infty}^\infty \abs{f(x-y)} \dx\right) \dy\overset{t=x-y}{=}\int_{-\infty}^\infty \abs{g(y)}\left(\int_{-\infty}^\infty \abs{f(t)} \dt\right) \dy = \norm{f}_1\norm{g}_1< \infty$$

הערה:

  1. כדאי לשים לב שאינטגרל של פונקציה יכול להיות לא קיים לא רק בגלל אי התכנסות בגבולות $\pm \infty$ של האינטגרציה, אלא גם בגלל שהפונקציה עצמה לא אינטגרבילית. למשל, עבור אינטגרל רימן, פונקציית דיריכלה המוגדרת ע”י $D(x)=\cases{1 & x\in \QQ \\ 0 & else}$ היא כלל לא אינטגרבילית (רימן) ללא קשר לגבולות האינטגרציה. דילגנו על החלק הזה בהוכחה, אבל באופן כללי זה גם משהו שצריך להראות.

  2. בנוסף, חשוב לשים לב שמה שמראים למעלה זה ש $\abs{(f*g)(x)}$ מוגדרת וסופית כמעט לכל $x$ ולא לכל $x$ . למשל, נסתכל על הפונקציה $f(x)=\frac{e^{-x^2/20}}{\sqrt{|x|}}$ . זוהי פונקציה חיובית, רציפה פרט לראשית שהיא אינטגרבילית בהחלט: עבור $x$ -ים קטנים מתקיים ש $f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{|x|}}$ שהאינטגרל שלה מתכנס ליד הראשית, ועבור $x$ -ים גדולים מתקיים ש $f(x)< e^{-x^2/20}$ שהאינטגרל שלה מתכנס באינסוף. המשפט למעלה מראה שהקונבולוציה $(f*f)(x)$ קיימת כמעט לכל $x$ , אבל אם נחשב את הקונבולוציה בראשית נקבל ש

    $$,(f*f)(0)=\int_{-\infty}^\infty f(-y)f(y)\dy=\int_{-\infty}^\infty f(y)^2\dy=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-y^2/10}}{|y|}\dy \geq \int_{-1}^1 \frac{e^{-1/10}}{|y|}\dy =\infty$$

    לעומת זאת, לכל $x\neq 0$ הקבונולוציה $(f*f)(x)$ מוגדרת וסופית.

    ניתן לראות את זה בתכנת דסמוס למטה:

    • בסגול רואים את הפונקציה $f(y)$ בשחור את $f(x_0-y)$ ובאדום את המכפלה שלהם שעליה רוצים לעשות אינטגרציה. שימו לב שניתן להזיז את הנקודה האדומה למטה וכך לשלוט על $x_0$ .

    • כל עוד $x_0\neq 0$ השטח יחסית קטן (התבדרות לאינסוף יחסית קטנה מ $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ ), ורק כאשר $x_0=0$ אז שני המקומות בהן $f(y),f(x_0-y)$ גדלים לאינסוף נופלים אחד על השני (התבדרות כמו $\frac{1}{|x|}$ ), ואז גם השטח הוא אינסופי.

בשלב הזה אנחנו יודעים שעבור פונקציות במרחב $E^1(\RR)$ ניתן לחבר אותן ולכפול בסקלר (זה מרחב ווקטורי) ועכשיו גם אפשר לעשות בינהן קונבולוציה. כבר ראינו במקרה של פולינומים איך אפשר לכפל קונבולוציה מתוך מכפלה, ומסתבר שיש לה גם תכונות שאנחנו רגילים לשייך לכפל.

תכונות אריתמטיות של קונבולוציה

יהיו $f,g,h\in E^1(\RR)$ , ו $\alpha \in \CC$ סקלר, אז:

  1. לינאריות (דיסטריביוטיביות + כפל בסקלר): $f*(\alpha g + h) = \alpha f*g + f*h$ .

  2. אסוציאטיביות: $f*(g*h)=(f*g)*h$ .

  3. קומוטטיביות: $f*g=g*f$ .

  4. הזזה: אם נסמן $g_\alpha(x)=g(x+\alpha)$ אז $(f*g_\alpha)(x)=(f*g)(x+\alpha)$ .

  5. נגזרת: אם $f$ גזירה ואם $f*g$ קיימת וגזירה, אז $(f*g)'(x)=(f'*g)(x)$ .

התמרת פורייה של קונבולוציה

משפט הקונבולוציה

יהיו $f,g\in E^1(\RR)$ , אז

$$.\widehat{f*g}(\omega) = 2\pi\hat {f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)$$

הוכחה:

נשים לב תחילה שבגלל ש $f,g\in E^1(\RR)$ אז אנחנו יודעים ש $f*g$ אינטגרבילית בהחלט ולכן יש לה התמרת פורייה, ששווה ל:

$$.\widehat{f*g}(\omega)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} (f*g)(x)e^{-i\omega x}\dx= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)e^{-i\omega x}\dy\dx$$

כבר ראינו שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט ולכן מותר לנו להחליף סדר אינטגרציה ולקבל את

$$.\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(y) \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)e^{-i\omega x}\dx\dy\overset{x=t+y}{=}\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(y)e^{-i\omega y} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\dt\dy=2\pi \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)$$

דוגמא: הקונבולוציה של $e^{-x^2}*e^{-x^2}$ .

אם נסמן $f(x)=e^{-x^2}$ ונרצה לחשב ישירות את הקונבולוציה, אז נקבל את האינטגרל:

$$\align{(f*f)(x) & =\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-y)^2}e^{-y^2}\dy = \int_{-\infty}^\infty e^{-2((x/2)^2 + (y-x/2)^2)}\dy \\ & = e^{-x^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-2(y-x/2)^2}\dy \overset{y=t+x/2}{=} e^{-x^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-2t^2}\dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-x^2/2}}$$

דרך שנייה לחשב את האינטגרל זה לעבור דרך התמרת פורייה, כי אז הקונבולוציה תהפוך לכפל פשוט פונקציות, ולאחר מכן ניתן לעשות התמרה הפוכה כדי לחזור לפונקציה שרצינו לחשב, או במילים אחרות

$$.(f*f)(x)=2\pi\cf\left[\cf[f*f]\right](-x)$$

מבחינה פורמלית, נסמן ב $f(x)=e^{-x^2}$ נזכיר שראינו ש $\cf[f](\omega)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{\omega^2}{4}}$ . שימוש במשפט הקונבולוציה יתן לנו ש

$$.\cf[f*f](\omega)=2\pi\cf[f]^2(\omega)=\frac{1}{2} e^{-\frac{\omega^2}{2}}=\frac{1}{2}f(\frac{\omega}{\sqrt{2}})$$

נחשב התמרה נוספת, תוך שימוש בתכונת ההתמרה של כפל המשתנה בסקלר ונקבל ש

$$.2\pi\cf[\cf[f*f]](-x)=\pi \cf\left[f(\frac{\omega}{\sqrt{2}})\right](-x)=\sqrt{2}\pi \cf\left[f\right](-\sqrt{2}x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$

results matching ""

    No results matching ""