התמרת פורייה - סיכום
התמרת פורייה על $E^1(\RR)$
(רשימות)
עבור פונקציה $f:\RR\to \CC$ ו $\omega\in \RR$ נכתוב
$$.\hat f(\omega) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}dx = \angles{f,e^{i\omega x}}$$
אם הגבול הזה קיים לכל $\omega \in \RR$ נקרא לפונקציה $\hat{f}:\RR\to\CC$ בשם ההתמרת פורייה של $f$ .
לעיתים נכתוב גם $\cf[f]=\hat{f}$ .
אם $f\in\ E^1(\RR)$ , אז $\hat{f}(\omega)$ מוגדרת היטב לכל $\omega$ ומתקיים ש $\norm{\hat{f}}_\infty \leq \frac{1}{2\pi} \norm{f}_1$ .
עבור $f\in E^1(\RR)$ ההתמרה מקיימת:
-
הפונקציה $\hat{f}$ היא רציפה.
-
(הלמה של רימן לבג) $\limfi{\abs{\omega}} \hat{f}(\omega) = 0$ .
דוגמאות חשובות
| $\hat{f}(\omega)$ | $f(x)$ |
|---|---|
| $\hat{f}(\omega)=\cases{\frac{\sin(\omega b)}{\omega \pi} & \omega \neq 0 \\ \frac{b}{\pi} & \omega = 0.}$ | $\chi_{[-a,a]}(x)$ |
| $\frac{1}{\pi(\omega^2+1)}$ | $e^{-\abs{x}}$ |
| $\frac{1}{1+i\omega}$ | $\chi_{[0,\infty)}(x) \cdot e^{-\abs{x}}$ |
| $\frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\omega^2/4}$ | $e^{-x^2}$ |
פעולות גאומטריות
(רשימות)
| $\hat{f}(\omega)$ | $f(x)$ | |
|---|---|---|
| לינאריות: | $\alpha \cdot \hat{f}(\omega)+\beta \cdot \hat{g}(\omega)$ | $\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)$ |
| מתיחה: | $\frac{\hat{f}(\omega/\lambda)}{|\lambda|}$ | $f(\lambda x)$ |
| הצמדה: | $\overline{\hat{f}(-\omega)}$ | $\overline{f(x)}$ |
| הזזה לסיבוב: | $e^{i\alpha \omega}\hat{f}(\omega)$ | $f(x+\alpha)$ |
| סיבוב להזזה: | $\hat{f}(\omega-c)$ | $e^{icx}f(x)$ |
| סינוס: | $\frac{\cf[f](\omega-c)-\cf[f](\omega+c)}{2i}$ | $f(x)\sin(cx)$ |
| קוסינוס: | $\frac{\cf[f](\omega-c)+\cf[f](\omega+c)}{2}$ | $f(x)\cos(cx)$ |
נגזרות
| $\hat{f}(\omega)$ | $f(x)$ | |
|---|---|---|
| עבור $f(x),f'(x)\in E^1(\RR)$ | $i\omega \hat{f}(\omega)$ | $f'(x)$ |
| עבור $f(x),x\cdot f(x)\in E^1(\RR)$ | $\hat{f}'(\omega)$ | $-ix\cdot f(x)$ |
ההתמרה ההפוכה
(רשימות)
תהא $f\in E^1(\RR)$ . בכל נקודה $x_0\in \RR$ בה יש לפונקציה נגזרות מתואמות, מתקיים ש
$$\limfi{M} \int_{-M}^M \hat{f}(\omega)e^{i\omega x_0}\dom = \frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}$$
אם $f,\hat{f}\in E^1(\RR)$ ול $f$ יש נגזרות מתואמות ב $x_0$ אז מתקיים ש
$$\hat{\hat{f}}(x_0) = \frac{1}{2\pi} \frac{f(-x_0^+)+f(-x_0^-)}{2}$$
ובפרט אם $f$ רציפה ב $x_0$ אז מתקיים ש
$$\hat{\hat{f}}(x_0) = \frac{1}{2\pi} f(-x_0)$$
אם $f,\hat{f} \in E^1(\RR)$ ו $f$ רציפה עם נגזרות מתואמות, אז $f$ חסומה ומתקיים ש
$$.\norm f_\infty \leq \norm {\hat{f}}_1$$
פלנשרל
(רשימות)
תהא $f\in E^2(\RR)$ ועבור $M>0$ נסמן
$$.f_M(x):=f(x)\cdot \chi_{[-M,M]}(x)=\cases{f(x) & |x|\leq M \\ 0 & |x|>M}$$
הפונקציות $f_M(x)$ נמצאות ב $E^1(\RR) \cap E^2(\RR)$ ונגדיר את התמרת פורייה של $f$ להיות
$$\hat{f}(\omega) = \limfi{M} \hat{f}_M(\omega)= \limfi{M} \frac{1}{2\pi} \int_{-M}^M f(x)e^{-i \omega x}\dx$$
כאשר הגבול הוא בנורמת $\norm{\cdot}_2$ .
יהיו $f,g\in E^1(\RR)\cap E^2 (\RR)$ אז:
-
ההתמרות $\hat{f}, \hat{g}$ גם נמצאות ב $E^2(\RR)$ ,
-
מתקיים ש:
$$\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} \dom = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \dx$$
או בכתיב של מכפלות פנימיות $2\pi\angles{\hat{f}, \hat{g}}=\angles{f,g}$ ,
-
ובפרט מתקיים ש $\norm{f}_2=\norm{\hat{f}}_2$ .
קונבולוציה
עבור שתי פונקציות $f,g:\RR \to \CC$ נגדיר את הקונבולוציה שלהן $(f*g)$ להיות האינטגרל (כאשר הוא מוגדר):
$$.(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y) \dy$$
הקונבולוציה מוגדרת היטב אם:
-
אחת מהפונקציות אינטגרבילית בהחלט והשנייה חסומה (כלומר בה”כ $\norm{f}_1, \norm{g}_\infty < \infty$ ).
-
שני הפונקציות אינטגרביליות בריבוע, כלומר $\norm{f}_2, \norm{g}_2 < \infty$ .
יהיו $f,g\in E^1(\RR)$ . אז הקונבולוציה $(f*g)(x)$ מוגדרת כמעט לכל $x$ והיא אינטגרבילית בהחלט.
יהיו $f,g,h\in E^1(\RR)$ , ו $\alpha \in \CC$ סקלר, אז:
-
לינאריות (דיסטריביוטיביות + כפל בסקלר): $f*(\alpha g + h) = \alpha f*g + f*h$ .
-
אסוציאטיביות: $f*(g*h)=(f*g)*h$ .
-
קומוטטיביות: $f*g=g*f$ .
-
הזזה: אם נסמן $g_\alpha(x)=g(x+\alpha)$ אז $(f*g_\alpha)(x)=(f*g)(x+\alpha)$ .
-
נגזרת: אם $f$ גזירה ואם $f*g$ קיימת וגזירה, אז $(f*g)'(x)=(f'*g)(x)$ .
יהיו $f,g\in E^1(\RR)$ , אז
$$.\widehat{f*g}(\omega) = 2\pi\hat {f}(\omega) \cdot \hat{g}(\omega)$$