יהיו $f,g\in E^1(\RR)\cap E^2 (\RR)$ אז:

1. ההתמרות $\hat{f}, \hat{g}$ גם נמצאות ב $E^2(\RR)$ ,

2. מתקיים ש:

   $$\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} \dom = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \dx$$

   או בכתיב של מכפלות פנימיות $2\pi\angles{\hat{f}, \hat{g}}=\angles{f,g}$ ,

3. ובפרט מתקיים ש $\norm{f}_2=\norm{\hat{f}}_2$ .

הרעיון באופן כללי הוא החלפת סדרי אינטגרציה, ואם מותר לנו לעשות אותם אז “קל” להראות שהטענה נכונה.

מבחינה פורמלית, נראה תחילה שכאשר ל $f,g$ יש תומכים סופיים, כלומר קיים $M>0$ מספיק גדול כך ש $f(x)=g(x)=0$ עבור $|x|>M$ , אז ההחלפות מותרות. באופן כללי, יש צורך להשתמש בקירובים של פונקציות כלליות ע”י צמצום שלהם לקטעים סופיים, כלומר $f_M(x):=f(x)\cdot \chi_{[-M,M]}$ אבל לא נכנס לפרטים האלו כאן.

בנוסף, נתחיל גם עם ההנחה שגבולות אינטגרציה ששואפים ל $\pm \infty$ באותו קצב, ואז נראה איך נפתרים מזה. תחת ההנחות האלו נקבל ש

$$\align{\int_{-N}^N \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} \dom & = \frac{1}{4\pi^2} \int_{-N}^N \left(\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i \omega x} \dx \overline{\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-i \omega y} \dy} \right)\dom \\ & = \frac{1}{4\pi^2} \int_{-N}^N \left(\int_{-M}^M f(x)e^{-i \omega x} \dx \overline{\int_{-M}^M g(y)e^{-i \omega y} \dy} \right)\dom \\ & = \frac{1}{2\pi} \int_{-M}^M \int_{-M}^M f(x)\overline{g(y)} \left( \int_{-N}^N\frac{e^{-i \omega (x-y)}}{2\pi} \dom \right)\dx \dy} $$

אם נשאיף את $N\to\infty$ אז נקבל את פונקצית דירק בנקודה $x-y$ באינטגרל הפנימי, לכן סה”כ האינטגרל למעלה יהיה שווה ל

$$.(*)=\frac{1}{2\pi} \int_{-M}^M f(x)\overline{g(x)} \dx=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \dx$$

אם נבחר $f=g$ אז נקבל ש

$$.\limfi{N}\int_{-N}^N \abs{\hat{f}(\omega)}^2 \dom = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \abs{f(x)}^2 \dx$$

מאחר ופה האינטגרלים הם על פונקציות אי שליליות, קצב השאיפה ל $\pm \infty$ בגבולות האינטגרציה לא משנה את ההתכנסות, ולכן נקבל ש $\norm {\hat{f}}_2^2= \frac{1}{2\pi}\norm{f}_2^2< \infty$ , וזה כבר מראה ש $\hat{f}\in E^2(\RR)$ , וכמובן גם $\hat{g}\in E^2(\RR)$ .

אם נחזור עכשיו לחישוב הראשון למעלה, אז נוכל להשתמש באי שוויון קושי שוורץ (או בכך שהמכפלה הפנימית מוגדרת היטב על $E^2(\RR)$ ), כדי לקבל ש

$$.\int_{-N}^N \abs{\hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)}} \dom =\angles{|\hat{f}|,|\hat{g}|} \leq \norm{\hat{f}}_2 \norm{\hat{g}}_2 = \frac{1}{4\pi^2}\norm{f}_2 \norm{g}_2 < \infty $$

זה אומר שהאינטגרל מתכנס בהחלט, ולכן גם בלי הערך המוחלט הוא מתכנס, ללא קשר לקצב שאיפת הגבולות אינטגרציה ל $\pm \infty$ . זה מסיים את ההוכחה עבור פונקציות עם תומך סופי.

ראינו כבר שההתמרה של הפונקציה הזאת היא $\cf[e^{-a|x|}](\omega)=\frac{a}{\pi(\omega^2+a^2)}$ . אם נחשב את הנורמה של הפונקציה נקבל ש

$$.\norm{e^{-a|x|}}_2^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-2a|x|}\dx=2 \int_{0}^\infty e^{-2ax}\dx=\frac{e^{-2ax}}{-a}\mid_0^\infty = \frac{1}{a}$$

מצד שני, שימוש בפלנשרל נותן ש

$$.\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{a}{\pi(\omega^2+a^2)}\right)^2 \dom = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{a}$$

אם נעביר אגפים ונשתמש בזוגיות של הפונקציה, נקבל ש

$$.\dboxed{\int_{0}^\infty \frac{1}{(\omega^2+a^2)^2} \dom = \frac{\pi}{4a^3}} $$

עבור $a>0$ נסתכל על הפונקציה

$$.f_a(x)=\chi_{[-a,a]}(x)=\cases{1 & |x|\leq a \\ 0 & |x| > a}$$

עבור הפונקציות האלו ראינו ש $\hat{f}_a(\omega)=\frac{\sin(\omega a)}{\omega \pi}$ . שימוש בפלנשרל עבור המכפלה הפנימית יתן לנו ש:

$$\align{\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\omega a)}{\omega \pi} \cdot \frac{\sin(\omega b)}{\omega \pi} \dom &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f_a(x) f_b(x) \dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f_{\min(a,b)}(x) \dx \\&= \frac{\min(a,b)}{\pi}}$$

תהא $f\in E^2(\RR)$ ועבור $M>0$ נסמן

$$.f_M(x):=f(x)\cdot \chi_{[-M,M]}(x)=\cases{f(x) & |x|\leq M \\ 0 & |x|>M}$$

הפונקציות $f_M(x)$ נמצאות ב $E^1(\RR) \cap E^2(\RR)$ ונגדיר את התמרת פורייה של $f$ להיות

$$\hat{f}(\omega) = \limfi{M} \hat{f}_M(\omega)= \limfi{M} \frac{1}{2\pi} \int_{-M}^M f(x)e^{-i \omega x}\dx$$

כאשר הגבול הוא בנורמת $\norm{\cdot}_2$ .

דבר ראשון כדאי לשים לב שקל להראות ש $f_M$ אינטגרביליות בהחלט, כי

$$\norm{f_M}_1=\int_{-\infty}^\infty \abs{f_M} \dx=\int_{-M}^M \abs{f}\cdot 1 \dx\overset{(*)}{\leq} \sqrt{\int_{-M}^M |f|^2(x)\dx \int_{-M}^M |1|^2(x)\dx}\leq \norm{f}_2 \sqrt{2M} $$

כאשר האי שוויון ב $(*)$ הוא אי שוויון קושי שוורץ.

החלק היותר מסובך בהגדרה, הוא שאם $f$ הייתה מראש ב $E^1(\RR)$ אז בעצם עכשיו יש לנו שתי הגדרות להתמרה שלה, וצריך להראות ששתיהן מחזירות את אותה פונקציה. הטענה הזאת נכונה, אבל לא נוכיח אותה פה.

לבסוף, ההתמרה של פונקציה ב $E^2(\RR)$ כמו שמוגדרת למעלה, מחזירה גבול של פונקציות אינטגרבילית בריבוע, שהוא בפרט פונקציה אינטגרבילית בריבוע שהן לא מוגדרות נקודתית. כלומר כאשר אנחנו אומרים ששתי פונקציות כאלו הן שוות, אז הן שוות כמעט לכל $x$ .

הפונקציה $f(x)$ היא לא אינטגרבילית בהחלט אבל היא כן אינטגרבילית בריבוע כי $|f(x)|^2\leq \frac{1}{x^2}$ והאינטגרל של הפונקציות הזאת מתכנס באינסוף.

לפי ההגדרה החדשה שלנו מתקיים ש

$$.\hat{f}(\omega)=\limfi{M} \frac{1}{2\pi} \int_{-M}^M \frac{\sin(x)}{x}e^{-i \omega x}\dx$$

החישוב עצמו הוא די מסובך, אבל למזלנו כבר נתקלנו בפונקציה הזאת ואנחנו יודעים ש $\cf[\chi_{[-T,T]}](\omega)=\frac{\sin(\omega T)}{\omega \pi}$ , ולכן בפרט $\pi\cf[\chi_{[-1,1]}](\omega)=\frac{\sin(\omega)}{\omega}$ .

אם נשתמש במשפט ההתמרה ההפוכה נקבל ש

$$.\cf\left[\frac{\sin(\omega)}{\omega}\right](x) = \pi \cf\left[\cf\left[\chi_{[-1,1]}\right]\right](x) = \frac{1}{2} \chi_{[-1,1]}(-x) = \frac{1}{2} \chi_{[-1,1]}(x)$$

ובאופן כללי יותר נקבל ש

$$.\cf\left[\frac{\sin(\omega T)}{\omega}\right](x) = \frac{1}{2} \chi_{[-T,T]}(x)$$