תהא $f:[0,\infty)\to \CC$ פונקציה רציפה למקוטעין. נגדיר את התמרת לפלס $\cl[f]$ להיות הפונקציה:

$$\cl[f](s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\dt$$

עבור כל $s\in \RR$ שם האינטגרל מתכנס.

תהא $f:\RR \to \CC$ רציפה למקוטעין. אם קיים $s_0\in \RR$ ו $0< K$ כך ש $|f(t)|\leq Ke^{s_0t}$ לכל $t\geq 0$ , או בצורה שקולה הפונקציה $\frac{|f(t)|}{e^{s_0t}}$ חסומה ב $t\geq 0$ , אז $\cl[f](s)$ מוגדר לכל $s>s_0$ ומתקיים ש

$$.\limfi{s} \cl[f](s)=0$$

בכל התכונות למטה, הפונקציות הן רציפות למקוטעין עם התמרת פורייה שמוגדרת בנקודה $s$ .

1. לינאריות: $\cl[\alpha\cdot f + g](s) = \alpha \cl[f](s)+\cl[g](s)$ .

2. מתיחה: עבור $a>0$ מתקיים ש $\cl[f(at)](s) = \frac{1}{a} \cl[f]\left(\frac{s}{a}\right)$ .

3. כפל באקספוננט $\Leftarrow$ הזזה: $\cl[e^{at}f(t)](s) = \cl[f](s-a)$ .

תהא $f:[0,\infty)\to \CC$ פונקציה רציפה למקוטעין כך ש $\frac{|f(t)|}{e^{s_0t}}$ חסומה.

1. אם $f$ רציפה ובנוסף היא גזירה ברציפות למקוטעין, אז לכל $s>s_0$ מתקיים ש

$$.\cl[f'](s)=s\cl[f](s)-f(0)$$

1. התמרת לפלס $\cl[f]$ היא גזירה ולכל $s>s_0$ מתקיים ש

   $$ .\cl[tf(t)](s)=-\frac{d}{ds} \cl[f](s)$$

תהא $f:[0,\infty)\to \CC$ פונקציה רציפה למקוטעין כך ש $\frac{|f(t)|}{e^{s_0t}}$ חסומה.

1. אם הנגזרות $f^{(k)}(t)$ קיימות רציפות וחסומות ע”י $Ke^{s_0t}$ עבור $k\leq n-1$ ובנוסף $f^{(n)}$ רציפה למקוטעין, אז לכל $s>s_0$ מתקיים ש

   $$.\cl[f^{(n)}](s)=s^n\cl[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k}f^{(k)}(0)$$

2. התמרת לפלס גזירה אינסוף פעמים ב $s>s_0$ ומתקיים ש

   $$.\cl[t^nf(t)](s)=(-1)^n\frac{d^n}{\ds^n}\cl[f](s)$$

לכל קבוע ממשי $c \in \RR$ נגדיר את פונקציית הביסייד:

$$.H_{[c,\infty)}(t)=\cases{0 & t< c \\ 1 & c\leq t}$$

עבור $c=0$ נסמן פשוט $H(t):=H_{[0,\infty)}(t)$ ואז נקבל גם ש $H_{[c,\infty)}(t)=H(t-c)$ .

ניתן לכתוב פונקציה מציינת כהפרש של פונקציות הביסייד:

$$.\chi_{[a,b)}(t)=\Hs{a}(t)-\Hs{b}(t)$$

תהא $f:[0,\infty)\to \CC$ כך ש $\cl[f](s)$ קיים לכל $s>s_0$ . אז לכל $c\geq 0$ ו $s>s_0$ מתקיים ש

$$.\cl\left[H_{[c,\infty)}(t)f(t-c)\right](s) = \cl\left[H(t-c)f(t-c)\right](s) =e^{-sc}\cl[f](s)$$

אם $f,g$ נתמכות ב $[0,\infty)$ אז הקונבולוציה שלהם מקיימת:

$$.\dboxed{(f*g)(x)=\cases{\int_0^x f(x-t)g(t)\dt & x\geq 0 \\ 0 & x< 0}}$$

יהיו $f,g,h$ פונקציות הנתמכות ב $[0,\infty)$ . אז בכל מקום בו הקונבולוציה קיימת מתקיים ש:

1. אסוציאטיביות: $f*(g*h)=(f*g)*h$ .

2. קומוטטיביות: $f*g=g*f$ .

3. לינאריות: לכל $\alpha \in \CC$ מתקיים $(f+\alpha g)*h=f*h+\alpha f*g$ .